Question

【题目】已知函数，.

（1）求证：存在唯一的实数，使得直线与曲线相切；

（2）若，，求证：.

（注：为自然对数的底数.）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）曲线在处的切线为，所以只需证明有唯一解即可.
(2) 要证，即证,设，即，只要证明，然后构造函数，讨论单调性，分析函数的最值，即可证明.

证明：（1）由知，在处的切线为，

当该直线为时，可得

所以，所以，

令，则当时，，

所以在单调递增，

而，，所以存在唯一的实数（），

使得，相应的也是唯一的，

即存在唯一-的实数，使得直线与曲线相切.

（2）要证，即证，

令，对于确定的，是一次函数，只要证明，

注意到对于同一，，所以只要证明

先证明①：记，则，

令，因为，所以，

由此可知在区间递减，在区间递增.

又因为，，，

所以，在区间上存在唯一实数，使得.

故在区间，递减，在区间，递增.

于是.①得证.

再证明②：记，

当时，利用不等式得，

；

当时，利用不等式（）得

，

于是，

其中二次函数开口向上，对称轴为，

当时，最小值为，

所以.

综上，不等式①②均成立.

所以，当，对任意的，总有.