Question

已知函数f(x)=x-

3

x

．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）正确求解该函数的导函数是解决本题的关键，注意切线的斜率与函数在该点处导数的关系，运用点斜式写出所求的直线方程；
（Ⅱ）利用导数研究函数的单调性，并求解出该函数的极值和最值是解决本题的关键，注意研究函数在区间[1，3]上的增减情况．

解答：解：（Ⅰ）由于f′（x）=1+

3

x2

，故f（2）=2-1.5=0.5，f′（2）=

7

4

，故曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-

1

2

=

7

4

（x-2），即7x-4y-12=0；
（Ⅱ）由于f′（x）=1+

3

x2

，故导函数在其定义区间上恒大于零，因此f（x）在区间[1，3]上单调递增，故y_max=f（3）=2，y_min=f（1）=-2．

点评：本题考查学生的运算能力，考查导数的基本工具作用，考查函数的切线方程、函数在闭区间上最值的求解等基本的数学问题．因此本题对学生把握导数研究函数的基本问题做了全面的要求，重视函数的单调性在求解函数最值中的运用．