Question

（2012•松江区三模）已知F(x)=f(x+

1

2

)-2是R上的奇函数，an=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f（1）（n∈N^*），若bn=

1

an•an+1

，记{b_n}的前n项和为S_n，则

lim

n→∞

Sn=

1

8

．

Answer 1

分析：根据F(x)=f(x+

1

2

)-2是R上的奇函数，可得f(-x+

1

2

)+f(x+

1

2

)=4，由an=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f（1），倒序相加，可得a_n=2（n+1），从而可得bn=

1

an•an+1

=

1

4

（

1

n+1

-

1

n+2

），叠加，即可求得数列的和，从而可求极限．

解答：解：∵F(x)=f(x+

1

2

)-2是R上的奇函数，
∴F（-x）=-F（x）
∴f(-x+

1

2

)+f(x+

1

2

)=4
∴函数f（x）关于点（

1

2

，2）对称
∵an=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f（1）
∴2a_n=4（n+1）
∴a_n=2（n+1）
∴bn=

1

an•an+1

=

1

4

（

1

n+1

-

1

n+2

）
∴{b_n}的前n项和为S_n=

1

4

(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

）=

1

4

(

1

2

-

1

n+2

)
∴

lim

n→∞

Sn=

1

8

故答案为：

1

8

点评：本题考查函数的性质，考查数列的通项与求和，考查数列的极限，确定数列的通项是关键．