Question

已知函数f(x)=

sinx，sinx≥cosx cosx，sinx＜cosx.

给出函数f（x）的下列五个结论：①最小值为-

2

2

； ②一个单增区间是（-

3π

4

，

π

2

）；③其图象关于直线x=kπ+

π

4

（k∈Z）对称； ④最小正周期为2π； ⑤将其图象向左平移

π

4

后所得的函数是奇函数． 其中正确结论的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：f（x）的含义是取y=sinx和y=cosx的较大者，所以先在同一坐标系内画出y=sinx和y=cosx的图象，然后取上方的部分，就得到f（x）的图象．画出图象来之后，就很容易的找出单调区间，最大最小值，对称轴方程，平移后的奇偶性，同时也容易得到周期．

解答：解：如图实线即为f（x）的图象．
单调增区间为[2kπ+

π

4

，2kπ+

π

2

]，[2kπ+

5π

4

，2kπ+2π]（k∈Z），
单调减区间为[2kπ，2kπ+

π

4

]，[2kπ+

π

2

，2kπ+

5π

4

]（k∈Z），
f（x）_max=1，f（x）_min=-

2

2

．
f（x）为周期函数，T=2π．
①最小值为-

2

2

；正确；
 ②一个单增区间是（-

3π

4

，

π

2

），错误；
③其图象关于直线x=kπ+

π

4

（k∈Z）对称；正确；
 ④最小正周期为2π；正确；
 ⑤将其图象向左平移

π

4

后所得的函数是奇函数．错误，是偶函数．
故选C．

点评：必须看出本题中f（x）的含义是去正弦和余弦的较大者，然后只要画出图象来不难解决其他的问题．