Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，已知Sn=

n2+3n

2

，bn=12×32-an．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在一个最小正整数M，当n＞M时，S_n＞Tn恒成立？若存在求出这个M值，若不存在，说明理由．
（Ⅲ）设cn=

an-1

(n+1)!

，求数列{c_n}的前n项和U_n及其取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用数列前n项和与通项的关系，即当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，再验证，n=1即可．
（Ⅱ）由数列{a_n}的通项公式可推出{b_n}的通项，从而求出数列{b_n}的前n项和为T_n，最后比较S_n，T_n即可得解．
（Ⅲ）求出{c_n}通项，进而再利用裂项相消法求出的前n项和U_n．从而得解．

解答：解：（I）当n=1时，a₁=S₁=2
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=n+1，
综上，数列{a_n}的通项公式是a_n=n+1（n∈N*）（4分）

（II）bn=12×32-(n+1)=36×

1

3n

，b1=12，

bn+1

bn

=

1

3

，
∴数列{b_n}是以12为首项，

1

3

为公比的等比数列．
∴Tn=

12[1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=18(1-

1

3n

)．（7分）
由此可知12≤T_n＜18．
而{S_n}是一个递增数列，
且S₁=2，T₁=12，S₂=5，T₂=16，S₃=9，T₃=17

2

3

，S₄=14，T₄=17

80

81

，S5=20．
故存在一个最小正整数M=4，当n＞M时，S_n＞T_n恒成立．（10分）
（Ⅲ）cn=

an-1

(n+1)!

=

n

(n+1)!

=

1

n!

-

1

(n+1)!

，U_n=c₁+c₂+c₃++c_n-1+c_n=

1

1!

-

1

2!

+

1

2!

-

1

3!

+

1

3!

-

1

4!

++

1

(n-1)!

-

1

n!

+

1

n!

-

1

(n+1)!

=1-

1

(n+1)!

∵0＜

1

(n+1)!

≤

1

2

，∴U_n的取值范围是[

1

2

，1)（14分）

点评：本题考查数列通项及前n想和求法，注意：
（I）利用数列前n项和与通项的关系求通项时，注意n=1的验证．
（II）比较S_n，T_n时，要注意综合利用数列单调性．
（Ⅲ）裂项相消求和方法的利用．以上考点在高考中大量出现，要重视．