Question

已知函数f（x）=

1

3

x3+ax2+bx+c在x=1及x=3时取到极值．
（1）求实数a，b；
（2）若f（x）≥0在[0，4]上恒成立，求实数c的取值范围；
（3）若g（x）=f（x）-cx²在[0，4]上是增函数，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意函数f（x）=

1

3

x3+ax2+bx+c在x=1及x=3时取到极值，可得x=1及x=3是f′（x）=0的两根，求出函数的导数，再由根系关系建立关于a，b的方程解出它们的值；
（2）f（x）≥0在[0，4]上恒成立，可研究出函数在[0，4]上的最小值，令最小值大于等于0即可解出实数c的取值范围；
（3）g（x）=f（x）-cx²在[0，4]上是增函数，可转化为g′（x）=x²-（4+2c）x+3≥0在[0，4]上恒成立，将此不等式转化为4+2c≤x+

3

x

在[0，4]上恒成立，利用基本不等式即可得出参数c所满足的不等式，解出它的取值范围

解答：解：（1）由题意函数f（x）=

1

3

x3+ax2+bx+c在x=1及x=3时取到极值，可得x=1及x=3是f′（x）=0的两根
由于f′（x）=x²+2ax+b，故有

1+3=-2a 1×3=b

解得a=-2，b=3
（2）由（1）f（x）=

1

3

x3-2x2+3x+c，f′（x）=x²-4x+3
令导数大于0解得x＞3或x＜1，由导数小于0解得1＜x＜3，可得函数在[0，1]与[3，4]上是增函数，在[1，3]上是减函数，
故函数在[0，4]上的最小值可能为f（0）=c或，f（3）=c，
又f（x）≥0在[0，4]上恒成立，可得c≥0
（3）由题意g（x）=f（x）-cx²=

1

3

x3-(2+c)x2+3x+c，g′（x）=x²-（4+2c）x+3
又g（x）=f（x）-cx²在[0，4]上是增函数，故g′（x）=x²-（4+2c）x+3≥0在[0，4]上恒成立，
当x=0时，c∈R
当x＞0时，可变为4+2c≤x+

3

x

在[0，4]上恒成立，
由于x+

3

x

≥2

3

，等号当且仅当x=

3

x

，即x=

3

成立，
故有4+2c≤2

3

，解得c≤

3

-2

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，研究函数的极值，本题是导数中综合性较强的题全面考查了导数基础知识及导数在函数的用法，解题的关键是将问题正确转化，考察了转化的思想，推理判断的能力．