Question

已知函数y=f（x）=

ax2+1

bx+c

（a，b，c∈Z）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明：f（x）在（0，1）上为减函数．

Answer 1

分析：（1）由奇函数定义可得f（-x）=-f（x），根据该恒等式可求得c，由f（1）=2及f（2）＜3可得b的范围，又b∈Z可求b值，进而得a；
（2）定义法，设0＜x₁＜x₂＜1，只需通过作差证明f（x₁）＞f（x₂）；

解答：（1）解：因为f（x）是奇函数，
所以f（-x）=-f（x），即

ax2+1

-bx+c

=-

ax2+1

bx+c

，化简得bx+c=bx-c，解得c=0，
又f（1）=2，所以a+1=2b①，因为f（2）＜3，所以

4a+1

2b

＜3②，
将①代入②并整理得

2b-3

2b

＜0，解得0＜b＜

3

2

，
因为b∈z，所以b=1，从而a=1，
所以f（x）=

x2+1

x

；
（2）证明：由（1）得f（x）=

x2+1

x

=x+

1

x

，
设0＜x₁＜x₂＜1，则f（x₁）-f（x₂）=（x1+

1

x1

）-（x2+

1

x2

）=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

，
因为0＜x₁＜x₂＜1，
所以x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在（0，1）上为减函数．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断证明，属基础题，定义是解决问题的基础..