题目内容
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥面ABCD，PD=2，E，F分别为BC，AD的中点．（Ⅰ）求直线DE与面PBC所成的角；
（Ⅱ）求二面角P-BF-D的大小．
分析：（Ⅰ）求直线DE与面PBC所成的角的关键是作出线面角，因此需找面PBC得垂线，取PC的中点N，连接DN，EN，易得DN⊥面PBC，从而∠DEN为直线DE与面PBC所成的角，故可求；
（Ⅱ）过D作DM⊥BF，交BF的延长线于M，连接PM，则易得∠PMD为二面角P-BF-D的平面角，根据Rt△DMF与Rt△BAF相似，可求其正切值，从而得解．
（Ⅱ）过D作DM⊥BF，交BF的延长线于M，连接PM，则易得∠PMD为二面角P-BF-D的平面角，根据Rt△DMF与Rt△BAF相似，可求其正切值，从而得解．
解答：
解：（Ⅰ）取PC的中点N，连接DN，EN，∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥BC，
又由题意，有BC⊥DC∴BC⊥面PDC，∴面PBC⊥面PDC，
又PD=DC知DN⊥PC，∴DN⊥面PBC，
所以∠DEN为直线DE与面PBC所成的角，…（4分）
由题意DN=
，DE=
，
所以sin∠DEN=
=
，
所求角为arcsin
…（7分）
（Ⅱ）过D作DM⊥BF，交BF的延长线于M，连接PM，∵PD⊥面ABCD，所以PM在面ABCD内的射影为DM，∴PM⊥BF，
所以∠PMD为二面角P-BF-D的平面角…（10分）
由Rt△DMF与Rt△BAF相似，所以
=
⇒DM=
所以tan∠PMD=
=
所求二面角大小为arctan
…（13分）
解：（Ⅰ）取PC的中点N，连接DN，EN，∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥BC，又由题意，有BC⊥DC∴BC⊥面PDC，∴面PBC⊥面PDC，
又PD=DC知DN⊥PC，∴DN⊥面PBC，
所以∠DEN为直线DE与面PBC所成的角，…（4分）
由题意DN=
| 2 |
| 5 |
所以sin∠DEN=
| ||
|
| ||
| 5 |
所求角为arcsin
| ||
| 5 |
（Ⅱ）过D作DM⊥BF，交BF的延长线于M，连接PM，∵PD⊥面ABCD，所以PM在面ABCD内的射影为DM，∴PM⊥BF，
所以∠PMD为二面角P-BF-D的平面角…（10分）
由Rt△DMF与Rt△BAF相似，所以
| DM |
| AB |
| DF |
| BF |
| 2 | ||
|
所以tan∠PMD=
| PD |
| DM |
| 5 |
所求二面角大小为arctan
| 5 |
点评：本题以四棱锥为载体，考查线面角、面面角，步骤是：作、证、求，关键是作出相应的角．
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