Question

如图，四棱锥P-ABCD的底边ABCD为直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）若BE⊥平面PCD，求平面EBD与平面CBD夹角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，根据向量的共线关系得到线与线之间的平行关系，得到线与面平行的结论．
（II）根据面面垂直得到线线垂直，得到两个向量的数量积等于0，求出两个字母之间的关系，设出平面的法向量，根据数量积等于0，做出法向量，进而求出面面角．

解答：解：设AB=a，PA=b，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（a，0，0），P（0，0，b），C（2a，2a，0），D（0，2a，0），E（a，a，

b

2

）．
（Ⅰ）证明：

BE

=(0，a，

b

2

)，

AD

=(0，2a，0)，

AP

=(0，0，b)，
∴

BE

=

1

2

AD

+

1

2

AP

．
又∵BE?平面PAD
∴BE∥平面PAD．
（Ⅱ）∵BE⊥平面PCD，∴BE⊥PC，即

BE

•

PC

=0．
又∵

PC

=(2a，2a，-b)，
∴

BE

•

PC

=2a2-

b2

2

=0．即b=2a
在平面BDE和平面BDC中，

BE

=(0，a，a)，

BD

=(-a，2a，0)，

BC

=(a，2a，0)，
∴平面BDE的一个法向量为

n1

=(2，1，-1)，
平面BDC的一个法向量为

n2

=(0，0，1)，
∴cos＜

n1

，

n2

＞=-

1

6

．
∴平面EBD与平面CBD夹角的余弦值为

6

6

．

点评：本题第一小题考查空间中直线与平面的位置关系的证明，主要应用线面平行判断定理，本题获得定理成立的条件方法是向量法，第二小题考查用空间向量求二面角，本题解题的关键是建立坐标系，把难度比较大的二面角的求法，转化成了数字的运算．