Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若恒成立，求参数的取值范围.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（Ⅰ），函数的定义域为.

. ---------------1分

.

（1）当，即时，恒成立，所以函数在上单调递增； ---------------------------2分

（2）当，即时，方程有两个根.

解得，.

①当时，，.

此时，函数在上单调递增. ------------4分

②当时，.

此时，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.-----------6分

综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，函数的单调递增区间为，；单调递减区间为. -----------7分

（Ⅱ）不等式，即，

又因为，故分离参数可得. ----------9分

记，

则. -------------10分

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

所以函数的最小值为. ---------------12分

所以由不等式恒成立可得. ---------------------13分

【命题意图】本题考查导数与函数的单调性、含参函数的单调区间、不等式恒成立求参数范围等，考查基本的逻辑推理能力、运算能力以及数学应用意识等.