Question

2．若x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$]，则f（x）=$\frac{\sqrt{2}cosxsin（x+\frac{π}{4}）}{sin2x}$的最大值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由条件求得cotx的范围，再利用两角和差的三角公式化简f（x）为 $\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$cotx，从而求得它的最大值．

解答 解：由x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$]，可得cotx∈[cot$\frac{5π}{12}$，1]．
再根据cot$\frac{5π}{12}$=$\frac{1}{tan（\frac{π}{6}+\frac{π}{4}）}$=$\frac{1}{\frac{tan\frac{π}{6}+tan\frac{π}{4}}{1-tan\frac{π}{6}tan\frac{π}{4}}}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$，故cotx∈[2-$\sqrt{3}$，1]
f（x）=$\frac{\sqrt{2}cosxsin（x+\frac{π}{4}）}{sin2x}$=$\frac{\sqrt{2}cosx•（\frac{\sqrt{2}}{2}sinx+\frac{\sqrt{2}}{2}cosx）}{sin2x}$=$\frac{sinxcosx{+cos}^{2}x}{sin2x}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{{cos}^{2}x}{2sinxcosx}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$cotx，
故当x=$\frac{π}{4}$时，f（x）取得最大值为1，
故选：A．

点评 本题主要考查两角和差的三角公式，余切函数的定义域和值域，属于中档题．