Question

函数f（x）=cos²x+2sin²

x

2

-2的一个单调增区间是（　　）

• A．(

  π

  3

  ，

  2π

  3

  )
• B．(

  π

  6

  ，

  π

  2

  )
• C．(0，

  π

  3

  )
• D．(-

  π

  6

  ，

  π

  6

  )

Answer 1

分析：把给出的函数解析式化为关于cosx的二次函数，换元后画出内层函数和外层函数的图象，通过分析内层函数和外层函数图象的变化情况得到答案．

解答：解：由f（x）=cos²x+2sin²

x

2

-2
=cos2x+2sin2

x

2

-1-1
=cos²x-cosx-1．
令t=cosx，（-1≤t≤1）．
则f（x）=g（t）=t²-t-1．
内层函数t=cosx与外层函数的图象如图：

由内层函数t=cosx的图象可知，当x∈(

π

3

，

2π

3

)时，函数值t由

1

2

减小到-

1

2

．
外层函数g（t）=t²-t-1随着t的减小而增大，
即当x∈(

π

3

，

2π

3

)时，函数值y随着x的增大而增大．
∴(

π

3

，

2π

3

)为函数f（x）=cos²x+2sin²

x

2

-2的一个单调增区间．
故选A．

点评：本题考查了复合三角函数的单调性，考查了数形结合的解题思想方法，训练了换元法，通过作图，能够直观的看出函数值随自变量变化而变化的情况，是中档题．