Question

已知关于t的方程t²-2t+a=0的一个根为
（1）求方程的另一个根及实数a的值；
（2）是否存在实数m，使对x∈R时，不等式log_a（x²+a）≥m²-2km+2k对k∈[-1，2]恒成立？若存在，试求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题设知一根为，
∴．
（Ⅱ）设存在实数m满足条件，不等式为m²-2km+2k≤log₄（x²+4），
∵log₄（x²+4）的最小值为1，
∴m²-2km+2k≤1对k∈[-1，2]恒成立，
即2（1-m）k+m²-1≤0对k∈[-1，2]恒成立，
设g（k）=2（1-m）k+m²-1
则
解得∴m=1，
因此存在m=1满足条件．
分析：（Ⅰ）由题意知另一根为，由此能求出．
（Ⅱ）设存在实数m满足条件，不等式为m²-2km+2k≤log₄（x²+4），由log₄（x²+4）的最小值为1，知m²-2km+2k≤1对k∈[-1，2]恒成立，由此能够推导出存在m=1满足条件．
点评：本题考查函数的恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．