Question

如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，∠A₁AC＝60°．

(Ⅰ)求侧棱AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值的大小；

(Ⅱ)已知点D满足，在直线AA₁上是否存在点P，使DP∥平面AB₁C？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∵侧面A1ACC1⊥底面ABC，作A1O⊥AC于点O， 　　∴A1O⊥平面ABC．又∠ABC＝∠A1AC＝60°，且各棱长都相等， 　　∴AO＝1，OA1＝OB＝，BO⊥AC． 　　故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，则 　　A(0，－1，0)，B(，0，0)，A1(0，0，)，C(0，1，0)，； 　　∴．设平面AB1C的法向量为n＝(x，y，1) 　　则解得n＝(－1，0，1)． 　　由cos＜＞＝ 　　而侧棱AA1与平面AB1C所成角，即是向量与平面AB1C的法向量所成锐角的余角， 　　∴侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小为 　　(Ⅱ)∵而　∴ 　　又∵B(，0，0)，∴点D的坐标为D(－，0，0)．假设存在点P符合题意， 　　则点P的坐标可设为P(0，y，z)．∴ 　　∵DP∥平面AB1C，n＝(－1，0，1)为平面AB1C的法向量， 　　∴由，得 　　又DP平面AB1C，故存在点P，使DP∥平面AB1C，其从标为(0，0，)，即恰好为A1点