Question

【题目】已知函数．

（1）讨论函数的单调性;

（2）若函数在区间上有两个极值点，，证明:．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）根据函数，求导，令，分，两种情况讨论求解.

（2）由（1）得到， 求导，根据在区间上有两个极值点，，则有，可得，则，要证，即证：，转化为 ，构造函数，利用其单调性求解.

（1）因为函数，

所以，

令，

当，即时，，在上是增函数，

当，即时，令，解得，

当时，，当时，，

所以在上是减函数，在上是增函数.

（2）因为，

所以，

因为在区间上有两个极值点，，

所以，

所以，

不妨设，

要证，

即证：，

即证：，

即证：，

令，

所以，

令，

所以在成立，

所以在在上是增函数，

所以，

所以在成立，

所以在上是增函数，

所以.

所以原不等式成立.