Question

【题目】已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移a（a>0）个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为2．
（ⅰ）求函数的解析式；
（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得>0.

Answer 1

【答案】
（1）

（2）

（ⅰ）=；（ⅱ）详见解析．

【解析】（1）因为==,所以函数的最小正周期T=.
（2）（i）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移a（a>0）个单位长度后得到函数=的图象。又已知函数的最大值为2，所以10+5-a=2，解得a=13. 所以=
（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得>0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得>0，即sin>. 由<知，存在0<<,使得sin=。 由正弦函数性质可知，当x时，均有sin>。因为y=sinx的周期为，所以当x(KZ)时，均有sinx>. 因为对任意的整数K，=>>1,所以对于任意正整数k， ,使得,亦即存在无穷多个互不相同的正整数，使得>0.