Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=a，（a为常数，且a≠3），a_n+1=S_n+3ⁿ，设b_n=S_n-3ⁿ（n∈N^*）．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{2n•b_n}的前n项和T_n；
（3）若不等式an≥log

1

2

(x+1)-log

1

2

(3x2-1)+1对任意a∈[1，3）及n∈N^*恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据a_n+1=S_n+3ⁿ，可得S_n+1-S_n=a_n+1=S_n+3ⁿ即S_n+1=2S_n+3ⁿ，而b_n=S_n-3ⁿ，因此可得数列{b_n}是等比数列，利用等比数列通项公式的求法，即可求得结果；
（2）根据（1）求得的数列{b_n}的通项公式，可以求得数列{2n•b_n}的通项公式，利用错位相减法即可求得其前n项和T_n；
（3）不等式an≥log

1

2

(x+1)-log

1

2

(3x2-1)+1对任意a∈[1，3）及n∈N^*恒成立，探讨数列{a_n}的单调性，求出{a_n}的最小值，转化为(an)min≥log

1

2

(x+1)-log

1

2

(3x2-1)   +1
利用对数的运算性质，解对数不等式即可求得结果．

解答：解：（1）S_n+1-S_n=a_n+1=S_n+3ⁿ即S_n+1=2S_n+3ⁿ
∴

bn+1

bn

=

Sn+1-3n+1

Sn-3n

=

2Sn+3n-3n+1

Sn-3n

=

2Sn-2•3n

Sn-3n

=2
故{b_n}为等比数列，公比为2．
又a≠3，∴b₁=S₁-3=a-3≠0，∴b_n=（a-3）•2^n-1．
（2）2nb_n=n•2ⁿ•（a-3），先求数{n•2ⁿ}的前n项和T_n′．
∴T_n′=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ2T_n′=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
作差：-T_n′=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2
∴T_n′=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
∴T_n=（a-3）T_n′=（a-3）（n-1）•2ⁿ⁺¹+2（a-3）．
（3）由（1）知S_n=3ⁿ+（a-3）2^n-1，a_n+1=S_n+3ⁿ=2•3ⁿ+（a-3）•2^n-1
则a_n=S_n-1+3^n-1=2•3^n-1+（a-3）•2^n-2（n≥2）
∴n≥2时，an+1-an=4•3n-1+(a-3)•2n-2=2n-2[12(

3

2

)n-2+a-3]
当a∈[1，3）时，12(

3

2

)n-2+a-3≥12+a-3=a+9＞0，又2^n-2＞0．
则n≥2时，a_n+1＞a_n恒成立．
又当n=1时，a₂=a₁+3＞a₁恒成立．
故n∈N^*时．a_n+1＞a_n恒成立．∴（a_n）_min=a₁=a．
则由题中不等式得：a≥log

1

2

(x+1)-log

1

2

(3x2-1)   +1时对a∈[1，3）恒成立．
故1≥log

1

2

(x+1)-log

1

2

(3x2-1)+1，即0≥log

1

2

x+1

3x2-1

．
∴

x+1＞0 3x2-1＞0 x+1 3x2-1 ≥1

  ?

x＞-1 x＜- 3 3 或x＞ 3 3 - 2 3 ≤x≤1

故-

2

3

≤x＜-

3

3

或

3

3

＜x≤1．

点评：本是考查数列与不等式的综合，此类题一般难度较大，解题的关键是熟练掌握不等式证明的技巧与数列通项求和的技巧，本题中用构造法求数列的通项，是递推关系知道的情况下求数列通项的常用方法，对于不等式恒成立求参数的问题，本题采用了分离常数法的思想将参数独立出来，通过求关于n的代数式的最小值求出参数的取值范围，本题考察了转化化归的思想，方程的思想，构造法的技巧，综合性强，技巧性强，题后应注意总结本题解法上的规律，属难题．