题目内容

设a_n=1+q+q²+…+q^n-1（n∈N^*，q≠±1），A_n=C_n¹a₁+C_n²a₂+…+C_nⁿa_n．
（1）用q和n表示A_n；
（2）当-3＜q＜1时，求 $数学公式$ ．

解：（1）因为q≠1，
所以a_n=1+q+q²+…+q^n-1= $\text{[math]}$ ．
于是A_n= $\text{[math]}$ C_n¹+ $\text{[math]}$ C_n²+…+ $\text{[math]}$ C_nⁿ
= $\text{[math]}$ [（C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）-（C_n¹q+C_n²q²+…+C_nⁿqⁿ）]
= $\text{[math]}$ {（2ⁿ-1）-[（1+q）ⁿ-1]}
= $\text{[math]}$ [2ⁿ-（1+q）ⁿ]．
（2） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ [1-（ $\text{[math]}$ ）ⁿ]．
因为-3＜q＜1，且q≠-1，
所以0＜| $\text{[math]}$ |＜1．
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用等比数列的前n项和公式求出a_n，利用二项式系数和是2ⁿ及二项式定理的逆用，求出A_n．
（2）先化简 $\text{[math]}$ ，再利用公式 $\text{[math]}$ 其中0＜|q|＜1求出极限值．
点评：本题考查等比数列的前n项和公式；二项式系数的性质；二项式定理的逆用；利用特殊的极限值求函数的极限．