Question

点M（4，m）m＞0为抛物线y²=2px（p＞0）上一点，F为其焦点，已知|FM|=5，
（1）求m与p的值；
（2）若直线L过抛物线的焦点，与抛物线交与A、B两点，且倾斜角为60°，求弦AB的长．

Answer 1

分析：（1）由抛物线的定义，把M到焦点的距离转化为M到准线的距离，由此求得p的值，再把M的坐标代入抛物线方程求得m的值；
（2）由直线L的倾斜角求得斜率，由点斜式得到直线L的方程，和抛物线方程联立后利用根与系数关系得到A，B的横坐标的和，代入抛物线的弦长公式得答案．

解答：解：（1）由抛物线定义可知，|FM|=4+

p

2

=5，∴p=2．
则抛物线方程为：y²=4x，把M（4，m）m＞0代入抛物线方程得：
m²=16（m＞0），解得：m=4．
∴m=4，p=2；
（2）∵直线L倾斜角为60°，
∴其斜率为tan60°=

3

，又抛物线的焦点坐标为（1，0），
则直线L的方程为：y-0=

3

(x-1)．
联立

y= 3 x- 3 y2=4x

，得：3x²-10x+3=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则x1+x2=

10

3

．
∴|AB|=x1+x2+p=

10

3

+2=

16

3

．

点评：本题考查了抛物线的定义和方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常采用联立方程组，化为关于x的方程后利用一元二次方程根与系数的关系解决，是中档题．