Question

(理)如图,已知四棱锥S—ABCD的底面是边长为4的正方形,S在底面上的射影O落在正方形ABCD内,且O到AB、AD的距离分别为2和1.

(1)求证:是定值.

(2)已知P是SC的中点,且SO=3,问在棱SA上是否存在一点Q,使异面直线OP与BQ所成的角为90°?若存在,请给出证明,并求出AQ的长;若不存在,请说明理由.

(文)如图,在四棱锥S—ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥平面ABCD,且SA=AB,点E为AB的中点,点F为SC的中点.

(1)求证:EF⊥CD;

(2)求证:平面SCD⊥平面SCE.

Answer 1

答案：(理)(1)证明:在△SDC内,作SE⊥CD交CD于E,连结OE.

∵SO⊥平面ABCD,∴SO⊥CD.∴CD⊥平面SOE.∴CD⊥OE.∴OE∥AD.∴DE=1,从而CE=3. =cos∠SCD==12,∴是定值.

(2)解:以O为坐标原点,以OS所在直线为Oz轴，以过O且平行于AD的直线为Ox轴，以过O且平行于AB的直线为Oy轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

于是,A(2,-1,0)、B(2,3,0)、C(-2,3,0)、S(0,0,3)、P(-1,,).

设点Q(x,y,z),则存在λ使=λ(这是关键!将点的坐标用一个变量表示),

即(x-2,y+1,z)=λ(-2,1,3),

得即

令=(-1,,)·(-2λ,λ-4,3λ)=8λ-6=0,得λ=.

由0＜λ＜1,知点Q在棱SA上，且Q(,-,),||=||=.

(文)证明:(1)如图,连结AC、AF、BF、EF,

∵SA⊥平面ABCD,∴AF为Rt△SAC斜边SC上的中线.∴AF=SC.

又∵ABCD是正方形,∴CB⊥AB.而由SA⊥平面ABCD,得CB⊥SA.∴CB⊥平面SAB.∴CB⊥SB.∴BF为Rt△SBC斜边SC上的中线.∴BF=SC.

∴△AFB为等腰三角形,EF⊥AB.又CD∥AB,∴EF⊥CD.

(2)由已知易得Rt△SAE≌Rt△CBE,∴SE=EC,即△SEC是等腰三角形.∴EF⊥SC.

又∵SC∩CD=C,∴EF⊥平面SCD.又EF平面SCE,∴平面SCD⊥平面SCE.