Question

（2013•永州一模）永州市举办科技创新大赛，某县有20件科技创新作品参赛，大赛组委会对这20件作品分别从“创新性”和“实用性”两个方面进行评分，每个方面评分均按等级采用3分制（最低1分，最高3分），若设“创新性”得分为x，“实用性”得分为y，得到统计结果如下表，若从这20件产品中随机抽取1件．

x 作品数 y		创  新  性
		1分	2分	3分
实 用 性	1分	2	0	2
	2分	1	4	1
	3分	2	2	6

（1）求事件A：“x≥2且y≤2”的概率；
（2）设ξ为抽中作品的两项得分之和，求ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（1）确定事件A：“x≥2且y≤2”的作品数量，即可求得概率；
（2）方法一：分别求出“创新性”、“实用性”得分的分布列与期望，即可求得ξ的数学期望；
方法二：确定作品的总得分ξ的可能取值，求出其分布列，即可求得ξ的数学期望．

解答：解：（1）从表中可以看出，事件A：“x≥2且y≤2”的作品数量为7件，
故“x≥2且y≤2”的概率为

7

20

=0.35．                      …（5分）
（2）方法一：由表可知“创新性”得分y有（1分）、（2分）、（3分）三个等级，每个等级分别有5件，6件，9件，“创新性”得分x的分布列为：

x	1	2	3
p	1 4	3 10	9 20

则“创新性”得分的数学期望为Ex=1×

1

4

+2×

3

10

+3×

9

20

=

11

5

=2.2；                         …（8分）
“实用性”得分y有（1分）、（2分）、（3分）三个等级，每个等级分别有4件，6件，10件，
“实用性”得分y的分布列为：

y	1	2	3
p	1 5	3 10	1 2

故“实用性”得分的数学期望为Ey=1×

1

5

+2×

3

10

+3×

1

2

=

23

10

=2.3…（10分）
所以ξ数学期望Eξ=E（x+y）=Ex+Ey=2.2+2.3=4.5　　　　　　　  …（12分）
方法二：作品的总得分ξ的可能取值为（2分），（3分），（4分），（5分），（6分），
由表中可知对应的作品数量分别为2件，1件，8件，3件，6件，…（8分）
则作品的总得分ξ的分布列为：…（10分）

ξ	2	3	4	5	6
P	1 10	1 20	2 5	3 20	3 10

所以ξ数学期望为Eξ=2×

1

10

+3×

1

20

+4×

2

5

+5×

3

20

+6×

3

10

=

9

2

=4.5…（12分）

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．