题目内容
已知f（x）=
，g（x）=
．
（1）求证：f（x）是奇函数，并求f（x）的单调区间；
（2）分别计算f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值，由此概括出涉及函数f（x）和g（x）对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．
| x3-x-3 |
| 5 |
| x3+x-3 |
| 5 |
（1）求证：f（x）是奇函数，并求f（x）的单调区间；
（2）分别计算f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值，由此概括出涉及函数f（x）和g（x）对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．
分析：（1）利用函数的奇偶性的定义证明，利用单调性的定义确定函数的单调区间．
（2）分别求出f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值，然后根据规律得到结论．
（2）分别求出f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值，然后根据规律得到结论．
解答：解：（1）函数f（x）的定义域是{x|x≠0}，…（1分）
∵f（-x）=
=-
=-f(x)，
∴f（x）是奇函数．…（4分）
设0＜x1＜x2，f(x1)-f(x2)=
(
-
)-
(
-
)=
(
-
)(1+
)，…（6分）
∵y=x3r上是增函数，故
＜
，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（8分）
又∵f（x）是奇函数，∴f（x）在（-∞，0）上也是增函数．
∴函数f（x）的增区间是（-∞，0）和（0，+∞）．…（10分）
（2）f(4)-5f(2)g(2)=
-5×
?
=
-
=0，．…（12分）
同理f（9）-5f（3）g（3）=0．猜想：f（x2）-5f（x）g（x）=0 …（14分）
证明：∵f(x2)-5f(x)g(x)=
-5×
?
=
-
=0．
∴等式成立．…（16分）
∵f（-x）=
| (-x)3-(-x)-3 |
| 5 |
| x3-x-3 |
| 5 |
∴f（x）是奇函数．…（4分）
设0＜x1＜x2，f(x1)-f(x2)=
| 1 |
| 5 |
| x | 3 1 |
| x | -3 1 |
| 1 |
| 5 |
| x | 3 2 |
| x | -3 2 |
| 1 |
| 5 |
| x | 3 1 |
| x | 3 2 |
| 1 | ||||
|
∵y=x3r上是增函数，故
| x | 3 1 |
| x | 3 2 |
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（8分）
又∵f（x）是奇函数，∴f（x）在（-∞，0）上也是增函数．
∴函数f（x）的增区间是（-∞，0）和（0，+∞）．…（10分）
（2）f(4)-5f(2)g(2)=
| 43-4-3 |
| 5 |
| 23-2-3 |
| 5 |
| 23+2-3 |
| 5 |
| 43-4-3 |
| 5 |
| 43-4-3 |
| 5 |
同理f（9）-5f（3）g（3）=0．猜想：f（x2）-5f（x）g（x）=0 …（14分）
证明：∵f(x2)-5f(x)g(x)=
| x6-x-6 |
| 5 |
| x3-x-3 |
| 5 |
| x3+x-3 |
| 5 |
| x6-x-6 |
| 5 |
| x6-x-6 |
| 5 |
∴等式成立．…（16分）
点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，综合性较强．
练习册系列答案
相关题目