Question

（2013•辽宁）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=

4

5

，则C的离心率为（　　）

• A．

  3

  5

• B．

  5

  7

• C．

  4

  5

• D．

  6

  7

Answer 1

分析：在△AFB中，由余弦定理可得|AF|²=|AB|²+|BF|²-2|AB||BF|cos∠ABF，即可得到|BF|，设F^′为椭圆的右焦点，连接BF^′，AF^′．根据对称性可得四边形AFBF^′是矩形．
即可得到a，c，进而取得离心率．

解答：解：如图所示，在△AFB中，由余弦定理可得|AF|²=|AB|²+|BF|²-2|AB||BF|cos∠ABF，
∴62=102+|BF|2-20|BF|×

4

5

，化为（|BF|-8）²=0，解得|BF|=8．
设F^′为椭圆的右焦点，连接BF^′，AF^′．根据对称性可得四边形AFBF^′是矩形．
∴|BF^′|=6，|FF^′|=10．
∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．
∴e=

c

a

=

5

7

．
故选B．

点评：熟练掌握余弦定理、椭圆的定义、对称性、离心率、矩形的性质等基础知识是解题的关键．