Question

已知函数f(x)=

( 1 2 )x，x≥0 ( 1 e )x，x＜0

，若对任意的x∈[1-2a，1+2a]，不等式f（2x+a）≥[f（x）]³恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、(0，

  1

  3

  )
• B、(0，

  1

  3

  ]
• C、[

  1

  4

  ，

  1

  3

  )
• D、(

  1

  4

  ，

  1

  3

  ]

Answer 1

分析：根据函数指数函数单调性的性质，将不等式进行转化，即可得到实数a的取值范围．

解答：解：∵f(x)=

( 1 2 )x，x≥0 ( 1 e )x，x＜0

，
∴当x≥0时，不等式f（2x+a）≥[f（x）]³恒成立等价为(

1

2

)2x+a≥[(

1

2

)x]3=(

1

2

)3x成立，即2x+a≤3x，x≥a成立，
当x＜0时，不等式f（2x+a）≥[f（x）]³恒成立等价为(

1

e

)2x+a≥[(

1

e

)x]3=(

1

e

)3x成立，即2x+a≤3x，x≥a成立，
综上当x∈[1-2a，1+2a]，x≥a成立，
即

1+2a≥1-2a 1-2a≥a

，
∴

a≥0 a≤ 1 3

，
即0≤a≤

1

3

，
当a=0时，定义域为{1}，此时f（2x+a）=f（2）无意义，
∴a≠0，
即0＜a≤

1

3

，
故选：B．

点评：本题主要考查不等式的恒成立问题，利用指数函数的单调性的性质是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．