Question

已知二次函数f(x)=x²+2(10-3n)x+9n²-61n+100,其中n∈N.

(1)设函数y=f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列{a_n},求证:数列{a_n}为等差数列;

(2)设函数y=f(x)的图象的顶点到y轴的距离构成数列{d_n},求数列{d_n}前n项的和S_n.

Answer 1

(1)证明:a_n=3n-10.

    因为对n∈N且n≥2,有a_n-a_n-1=…=3,所以{a_n}为等差数列.

(2)解：由题意,d_n=|a_n|,即

d_n=

    所以当1≤n≤3时,

S_n=·n=;

    当n≥4时,

S_n=7+4+1+2+…+3n-10

=2(7+4+1)-7-4-1+2+…+3n-10

=.