Question

在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M、F、O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为

3

4

．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过F作斜率为

1

2

的直线与抛物线交于A，B两点，求AB的长度．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设M（x₀，

x02

2p

）（x₀＞0），Q（a，b），由题意可知b=

p

4

，根据点Q到准线的距离为

3

4

可解p；
（Ⅱ）由点斜式可得直线方程，代入抛物线方程消掉x可得y的二次方程，利用韦达定理及抛物线定义可得即可求得|AB|．

解答：解：（Ⅰ）F抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点F（0，

p

2

），
设M（x₀，

x02

2p

）（x₀＞0），Q（a，b），
由题意可知b=

p

4

，则点Q到抛物线C的准线的距离为b+

p

2

=

p

4

+

p

2

=

3

4

p=

3

4

，解得p=1，
于是抛物线C的方程为x²=2y．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为x²=2y，焦点F（0，

1

2

），
则直线方程为：y=

1

2

x+

1

2

，代入抛物线方程整理得，4y²-6y+1=0，
则yA+yB=

3

2

，
如右图所示：|AB|=|AF|+|BF|=（yA+

p

2

）+（yB+

p

2

）=（y_A+y_B）+p=

3

2

+1=

5

2

．

点评：本题考查抛物线的简单性质、直线与抛物线的位置关系，考查数形结合思想，属中档题．