Question

20.

    如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC. 已知求

    （Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；

    （Ⅱ）二面角E—PC—D的大小.

Answer 1

20.

解法一：

（Ⅰ）因PD⊥底面，故PD⊥DE，又因EC⊥PE，且DE

是PE在面ABCD内的射影，由三垂直线定理的逆定理知

EC⊥DE，因此DE是异面直线PD与EC的公垂线.

设DE=x，因△DAE∽△CED，故（负根舍去）.

从而DE=1，即异面直线PD与EC的距离为1.

（Ⅱ）过E作EG⊥CD交CD于G，作GH⊥PC交PC于H，连接EH.因PD⊥底面，

故PD⊥EG，从而EG⊥面PCD.

因GH⊥PC，且GH是EH在面PDC内的射影，由三垂线定理知EH⊥PC.

因此∠EHG为二面角的平面角.

在面PDC中，PD=，CD=2，GC=

因△PDC∽△GHC，故，

又

故在

即二面角E—PC—D的大小为

解法二：

（Ⅰ）以D为原点，、、分别为x、y、

z轴建立空间直角坐标系.

由已知可得D（0，0，0），P（0，0，，C（0，2，0）设

由·=0，

即由·，

又PD⊥DE，故DE是异面直线PD与CE的公垂线，易得||=1，故异面直线PD、

CE的距离为1.

（Ⅱ）作DG⊥PC，可设G（0，y，z）.由 得

即=（0,1,）作EF⊥PC于F，设F（0，m，n），

则=

由·，

又由F在PC上得

因⊥,⊥,故平面E—PC—D的平面角的大小为向量与的夹角.

故

即二面角E—PC—D的大小为