Question

已知直线与椭圆交于P，Q两点．
（1）设PQ中点M（x，y），求证：
（2）椭圆C的右顶点为A，且A在以PQ为直径的圆上，求△OPQ的面积（O为坐标原点）．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出交点坐标，再联立直线与椭圆的方程并且整理可得：（4a²+1）x²-4a²x+2a²=0，再利用根与系数的关系表示出中点的横坐标，进而得到答案．
（2）由题意可得：•=0，即（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=0，因为点在直线上，所以可得5，再由（1）可得关于a的方程，进而结合题意求出a的值．联立，得，由弦长公式得=，由点到直线距离公式，得坐标原点O到直线y=2x-的距离d=，由此能求出△OPQ的面积．
解答：（1）证明：设直线与椭圆交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）两点，由题意可得：右顶点A（a，0），
将y=2x-代入x²+a²y²-a²=0中整理得（4a²+1）x²-4a²x+2a²=0，
所以根据根与系数，
∵M（x，y）为PQ中点，
∴x===-，
所以x＜
（2）解：因为以PQ为直径的圆过椭圆C的右顶点A，
所以•=0，即（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=0，
 又因为y₁=2x₁-，y₂=2x₂-
所以（x₁-a）（x₂-a）+（2x₁-）（2x₂-）=0，
整理可得：5，…③
 将①②代入③得：4a⁴-4a³-a²+3=0
∴（a-）（4a²-a-）=0，
∵a＞1，则4a²-a-＞0，
所以a=，所以椭圆方程为+y²=1．
联立，
消去y，并整理得，
∴，，k=2，
∴=，
坐标原点O到直线y=2x-的距离d=，
∴△OPQ的面积S==．
点评：本题主要考查椭圆标准方程与几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，并且考查学生运算能力与分析问题解决问题的能力．