Question

已知椭圆.,分别为椭圆的左,右焦点,, 分别为椭圆的左,右顶点.过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆在第一象限的交点为.

(1)  求椭圆的标准方程;

(2)  直线与椭圆交于,两点, 直线与交于点.当直线变化时, 点是否恒在一条定直线上?若是,求此定直线方程;若不是,请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1), . 点在椭圆上,

  ,     

    或(舍去).  .

   椭圆的方程为.                          ………4分

(2)当轴时,,, 又,

,  , 联立解得.

当过椭圆的上顶点时, ,,

, ,联立解得.    

若定直线存在,则方程应是.                            ………8分 

下面给予证明.

把代入椭圆方程,整理得,

成立, 记, ,则, .

,

当时,纵坐标应相等, , 须

须, 须

而成立.

综上,定直线方程为  

【解析】(1)根据条件易求c,然后根据点M在椭圆上建立方程即可求解。

（2）本题是探索性问题，应先假设存在，然后要对直线出现的各种情况讨论，分类解决。