Question

18．在锐角△ABC中，若C=2B，则$\frac{c}{b}$的范围是（　　）

• A． （0，2）
• B． $（\sqrt{2}，2）$
• C． $（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$
• D． $（1，\sqrt{3}）$

Answer 1

分析 利用内角和定理列出关系式，把C=2B代入表示出A，由三角形为锐角三角形，确定出B的范围，原式利用正弦定理化简，再利用余弦函数值域确定出cosB的范围，即可求出范围．

解答 解：∵锐角△ABC中，C=2B，
∴A=180°-3B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜2B＜90°}\\{0＜B＜90°}\\{0＜180-3B＜90°}\end{array}\right.$，
∴30°＜B＜45°，
由正弦定理可得，$\frac{c}{b}$=$\frac{sinC}{sinB}$=$\frac{sin2B}{sinB}$=2cosB，
∵$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosB＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\sqrt{2}$＜2cosB＜$\sqrt{3}$，
∴$\frac{c}{b}$的范围是（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），
故选：C．

点评 此题考查了正弦定理，余弦函数的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．