题目内容

在△ABC中，角A、B、C的对边分別为a、b、c，若A+C≤2B，求证:a4+c4≤2b4.

思路解析：由已知条件，根据角的不等关系和余弦定理导出边的不等关系，这是本题的正确思路.

证明：∵A+C=π-B≤2B,

∴B≥,cosB≤.

由余弦定理，得

b2=a2+c2-2accosB≥a2+c2-ac,

即a2+c2≤b2+ac，于是

a4+c4=(a2+c2)2-2a2c2

=(a2+c2+ac)·(a2+c2-ac)

≤［b2+(+1)ac］·［b2-(-1)ac］

=b4+2acb2-a2c2

=-(ac-b2)2+2b4

≤2b4.

练习册系列答案
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在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2-a2=
3
bc，且b=
3
a，则下列关系一定不成立的是（　　）
A、a=c
B、b=c
C、2a=c
D、a2+b2=c2
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=60°，cos（B+C）=-
1114
．
（1）求cosC的值；
（2）若bcosC+acosB=5，求△ABC的面积．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsinA=
3
acosB．
（1）求角B的大小；
（2）若a=4，c=3，D为BC的中点，求△ABC的面积及AD的长度．
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c并且满足
b
a
=
sinB
cosA
．
（1）求∠A的值；
（2）求用角B表示
2
sinB-cosC，并求它的最大值．
在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且a=
5
，b=3，sinC=2sinA，则sinA=
 
．

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