Question

设a为大于0的常数，函数f（x）=-ln（x+a）．
（1）当a=，求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）若使函数f（x）为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）将a的值代入后对函数进行求导，令导函数等于0求出x的值，然后判断函数的单调性进而可求极大值与极小值．
（2）将问题转化为函数f（x）的导函数在∈[0，+∞）大于等于0恒成立的问题，从而得解．
解答：解：（1）当a=时，f′（x）=-，
令f′（x）=0，则x-2+=0，∴x=或，
当x∈[0，]时，f′（x）＞0，当x∈（，），f′（x）＜0，
当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）_极大值=f（）=，f（x）_极小值=f（）=-ln3．
（2）f′（x）=-，若f（x）为增函数，则当x∈[0，+∞）时，f′（x）≥0恒成立，
∴≥，即x+a≥2，
即a≥2-x=-（-1）²+1恒成立，
∴a≥1．
点评：本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系．导数问题时每年高考的热点，要重视．