Question

设a为大于0的常数，函数f（x）=

x

-ln（x+a）．
（1）当a=

3

4

，求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）若使函数f（x）为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将a的值代入后对函数进行求导，令导函数等于0求出x的值，然后判断函数的单调性进而可求极大值与极小值．
（2）将问题转化为函数f（x）的导函数在∈[0，+∞）大于等于0恒成立的问题，从而得解．

解答：解：（1）当a=

3

4

时，f′（x）=

1

2 x

-

1

x+ 3 4

，
令f′（x）=0，则x-2

x

+

3

4

=0，∴x=

9

4

或

1

4

，
当x∈[0，

1

4

]时，f′（x）＞0，当x∈（

1

4

，

9

4

），f′（x）＜0，
当x∈（

9

4

，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）_极大值=f（

1

4

）=

1

2

，f（x）_极小值=f（

9

4

）=

3

2

-ln3．
（2）f′（x）=

1

2 x

-

1

x+a

，若f（x）为增函数，则当x∈[0，+∞）时，f′（x）≥0恒成立，
∴

1

2 x

≥

1

x+a

，即x+a≥2

x

，
即a≥2

x

-x=-（

x

-1）²+1恒成立，
∴a≥1．

点评：本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系．导数问题时每年高考的热点，要重视．