题目内容

对任意ai＞0（i=1，2，…，n）证明a1+a2+…+an≤
n(
a
2
1
+
a
2
2
+…+
a
2
n
)
．
分析：由柯西不等式（a1+a2+a3+a4+…+an）×（12+12+…+12）≥（a1+a2+…+an）2．能够得到所要证明的结论．
解答：解：由柯西不等式（a1+a2+a3+a4+…+an）×（12+12+…+12）
≥（a1+a2+…+an）2．，
因任意ai＞0（i=1，2，…，n），
∴a1+a2+…+an≤
n(
a
1
2
+
a
2
2
+…+
a
n
2
)
．
点评：本题考查柯西不等式在函数极值中的应用，解题时要注意公式的灵活运用．
练习册系列答案
相关题目
对任意正整数n定义双阶乘n!!如下：当n为偶数时，n!!=n（n-2）（n-4）•…•4•2；
当n为奇数时，n!!=n（n-2）（n-4）•…•3•1，现有如下四个命题：
①（2011!!）（2010!!）=2011!；
②2010!!=2×1005!；
③设1010!!=a×10k（a，k∈N*），若a的个位数不是0，则k=112；
④设15!!=
a
n1
1
a
n2
2
…
a
nm
m
（ai为正质数，ni为正整数（i=1，2，…，m）），则（ni）max=4；
则其中正确的命题是
 
（填上所有正确命题的序号）．
附加题必做题
  设n是给定的正整数，有序数组（a1，a2，…，a2n）同时满足下列条件：
①ai∈{1，-1}，i=1，2，…，2n；    ②对任意的1≤k≤l≤n，都有|
2li=2k-1
ai|≤2．
（1）记An为满足“对任意的1≤k≤n，都有a2k-1+a2k=0”的有序数组（a1，a2，…，a2n）的个数，求An；
（2）记Bn为满足“存在1≤k≤n，使得a2k-1+a2k≠0”的有序数组（a1，a2，…，a2n）的个数，求Bn．
（2012•浦东新区三模）已知集合A={a1，a2…an}（0≤a1＜a2＜…＜an，n∈N*，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），ai+aj与aj-ai至少一个属于A，
（1）分别判断集合M={0，2，4}与N=（1，2，3）是否具有性质P，并说明理由；
（2）①求证：0∈A；②当n=3时，集合A中元素a1、a2、a3是否一定成等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由；
（3）对于集合A中元素a1、a2、…an，若an=2012，求数列{an}的前n项和Sn（用n表示）．
对任意ai＞0（i=1，2，…，n）证明．

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