题目内容

若a，b，c∈R+，a+2b+3c=6．
（1）求abc的最大值；
（2）求证
a+6
a
+
b+3
b
+
c+2
c
≥12．
分析：（1）由已知可得abc=
1
6
a•2b•3c≤
1
6
（
a+2b+3c
3
）3，可求
（2）由
a+6
a
+
b+3
b
+
c+2
c
=3+
6
a
+
3
b
+
2
c
=
1
6
（
6
a
+
3
b
+
2
c
） （a+2b+3c），化简后利用基本不等式可证
解答：解：（1）∵a，b，c∈R+，a+2b+3c=6
∴abc=
1
6
a•2b•3c≤
1
6
（
a+2b+3c
3
）3=
4
3

当a=2，b=1，c=
2
3
时取等号，∴abc的最大值为
4
3
…．…..（5分）
（2）∵
a+6
a
+
b+3
b
+
c+2
c
=3+
6
a
+
3
b
+
2
c

而（
6
a
+
3
b
+
2
c
） （a+2b+3c）≥（
6
+
6
+
6
）2=54
∴
6
a
+
3
b
+
2
c
≥9
∴
a+6
a
+
b+3
b
+
c+2
c
≥12…（10分）
点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值及证明中的应用，解题的关键是对基本不等式应用条件的配凑
练习册系列答案
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28、（1）一次函数f（x）=kx+h（k≠0），若m＜n有f（m）＞0，f（n）＞0，则对于任意x∈（m，n）都有f（x）＞0，试证明之；
（2）试用上面结论证明下面的命题：若a，b，c∈R且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则ab+bc+ca＞-1．
若a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求
a
+
b
+
c
的最大值．
若a＞b且c∈R，则下列不等式中一定成立的是（　　）
若a、b、c∈R，且|a-c|＜|b|，则（　　）
对于函数f（x），若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=
ex+t
ex+1
是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（　　）
A、[
1
2
，2]
B、[0，1]
C、[1，2]
D、[0，+∞）

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