Question

已知函数f（x）=lnx+（x-a）²，a为常数．
（1）若当x=1时，f（x）取得极值，求a的值，并求出f（x）的单调增区间；
（2）若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln

e

2

．

Answer 1

（1）∵f′(x)=

1

x

+2(x-a)=

2x2-2ax+1

x

，
∵x=1时，f（x）取得极值，f'（1）=0，3-2a=0，a=

3

2

…（2分）
f′(x)=

2x2-3x+1

x

(x＞0)，f'（x）＞0?2x²-3x+1＞0（x＞0）x＞1或0＜x＜

1

2

，
f（x）的单调增区间为(0，

1

2

)、（1，+∞）…（4分）
（2））∵f′(x)=

1

x

+2(x-a)=

2x2-2ax+1

x

，令f'（x）=0
则2x²-2ax+1=0在（0，+∞）上有解，但没有等根．△=4a²-8=4（a²-2）
当-

2

＜a＜

2

时，△＜0，则2x²-2ax+1＞0恒成立，即f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）无极值．
当a=

2

时，2x2-2

2

x+1=0，方程的根x0=

2

2

，x∈(0，

2

2

)，x∈(

2

2

，+∞)时，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上无极值．
同理当a=-

2

时，f（x）在（0，+∞）上无极值．
当a＜-

2

或a＞

2

时，△＞0，方程有二个解x1=

a- a2-2

2

，x2=

a+ a2-2

2

，且x₁+x₂=a，x1•x2=

1

2

当a＜-

2

时，x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁，x₂均为负根
∴x∈（0，+∞）有f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．∴f（x）无极值点．
当a＞

2

时x₁+x₂＞0，x₁•x₂＞0，∴x₁•x₂∈（0，+∞）

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f（x）	+	0	-	0	+
f′（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

∴f（x）在x₁处有极大值，在x₂处有极小值．
∴a的取值范围是(

2

，+∞)…（8分）
∵f(x1)+f(x2)=lnx1+lnx2+(x1-a)2+(x2-a)2=lnx1x2+(x12+x22)-2a(x1+x2)+2a2=ln

1

2

+(x12+x22)-2a•a+2a2≥ln

1

2

+2x1x2=ln

1

2

+1=ln

e

2

∵x₁≠x₂，∴f(x1)+f(x2)＞ln

e

2

…（12分）