Question

多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示，M、N分别为AF、BC的中点．

⑴求证：MN∥平面CDEF；

⑵求多面体A—CDEF的体积；

⑶求证：CE⊥AF．

Answer 1

（本题满分12分）

证明：⑴由多面体AEDBFC的三视图知，

三棱柱AED—BFC中

底面DAE是等腰直角三角形，

DA＝AE＝2，DA⊥平面ABEF，

侧面ABFE，ABCD都是边长为2的正方形．  1分

连结EB，则M是EB的中点，在△EBC中，MN∥EC，

且EC平面CDEF，MN平面CDEF，

∴MN∥平面CDEF．  4分

⑵因为DA⊥平面ABEF，EF平面ABEF，

∴EF⊥AD，又EF⊥AE，所以，EF⊥平面ADE，

∴四边形CDEF是矩形，且侧面CDEF⊥平面DAE

取DE的中点H，∵DA⊥AE，DA＝AE＝2，∴，

且AH⊥平面CDEF．所以多面体A—CDEF的体积

．   8分

⑶∵DA⊥平面ABEF，DA∥BC，

∴BC⊥平面ABEF，∴BC⊥AF，

∵面ABFE是正方形，∴EB⊥AF，

∴AF⊥面BCE，∴CE⊥AF．    12分