Question

已知函数f（x）=（2^x-a）²+（2^-x+a）²，x∈[-1，1]．
（1）若设t=2^x-2^-x，求出t的取值范围（只需直接写出结果，不需论证过程）；并把f（x）表示为t的函数g（t）；
（2）求f（x）的最小值；
（3）关于x的方程f（x）=2a²有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）展开，换元，代入可得函数解析式；
（2）利用配方法，分类讨论，可求f（x）的最小值；
（3）方程f（x）=2a²有解，即方程t²-2at+2=0在[-

3

2

，

3

2

]上有解，分离参数，利用基本不等式可得结论．

解答：解：（1）f（x）=（2^x-a）²+（2^-x+a）²=（2^x-2^-x）²-2a（2^x-2^-x）+2a²+2
令t=2^x-2^-x，x∈[-1，1]，∴t∈[-

3

2

，

3

2

]…（2分）
f（x）表示为t的函数g（t）=t²-2at+2a²+2=（t-a）²+a²+2…（5分）
（2）g（t）=t²-2at+2a²+2=（t-a）²+a²+2，t∈[-

3

2

，

3

2

]
当a＜-

3

2

时，f(x)min=g(-

3

2

)=2a2+3a+

17

4

当-

3

2

≤a≤

3

2

时，f(x)min=g(a)=a2+2
当a＞

3

2

时，f(x)min=g(

3

2

)=2a2-3a+

17

4

，
∴f(x)min=

2a2+3a+ 17 4 ，a＜- 3 2 a2+2，- 3 2 ≤a≤ 3 2 2a2-3a+ 7 4 ，a＞ 3 2

…（11分）
（3）方程f（x）=2a²有解，即方程t²-2at+2=0在[-

3

2

，

3

2

]上有解，而t≠0
∴2a=t+

2

t

，…（12分）
令y=t+

2

t

，则y′=1-

2

t2

，∴函数在(0，

2

)上单调递减，(

2

，

3

2

)上单调递增…（13分）
∴t+

2

t

≥2

2

，…（14分）
又y=t+

2

t

为奇函数，∴当t∈(-

3

2

，0)时t+

2

t

≤-2

2

…（15分）
∴a的取值范围是(-∞，

2

]∪[

2

，+∞)．   …（16分）

点评：本题考查函数解析式，考查函数的最值，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．