Question

若2014=2^a₁+2^a₂+…+2^a_n，其中a₁，a₂，…，a_n为两两不等的非负整数，令x=sin

n

i=1

ai，y=cos

n

i=1

ai，z=tan

n

i=1

ai，则x，y，z的大小关系是（　　）

• A、x＜y＜z
• B、z＜x＜y
• C、x＜z＜y
• D、y＜z＜x

Answer 1

分析：由题意2014=2^a₁+2^a₂+…+2^a_n=可变形为2014=2¹⁰+2⁹+2⁸+2⁷+2⁶+2⁴+2³+2²+2¹，继而得到

n

i=1

ai然后根据三角函数的函数值之间的关系即可得到结论．

解答：解：∵2014=2^a₁+2^a₂+…+2^a_n，且a₁，a₂，…，a_n为两两不等的非负整数，
∴2014=2¹⁰+2⁹+2⁸+2⁷+2⁶+2⁴+2³+2²+2¹，
∴

n

i=1

ai=10+9+8+7+6+4+3+2+1=50，
∴x=sin

n

i=1

ai=sin50，y=cos

n

i=1

ai=cos50，z=tan

n

i=1

ai=tan50，
∵50≈15π+2.9，
∴x=sin50=sin（15π+2.9）=-sin2.9，
y=cos05=cos（15π+2.9）=-cos2.9，
z=tan50=tan（15π+2.9）=tan2.9＜0，
∵

π

2

＜2.9＜π
∴tan2.9＜-1，-1＜-sin2.9＜0，-cos2.9＞0，
∴tan2.9＜-sin2.9＜-cos2.9，
∴tan50＜sin50＜cos50，
∴z＜x＜y．
故选：B．

点评：本题考查了三角函数值的大小比较，关键是把2012=2^a₁+2^a₂+…+2^a_n变形为2014=2¹⁰+2⁹+2⁸+2⁷+2⁶+2⁴+2³+2²+2¹，综合性较强，难度较大．