Question

关于函数f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0，x∈R)有下列命题：
①函数y=f（x）的图象关于y轴对称；
②在区间（-∞，0）上，函数y=f（x）是减函数；
③函数f（x）的最小值为lg2；
④在区间（1，∞）上，函数f（x）是增函数．
其中正确命题序号为

①③④

．

Answer 1

分析：函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，再由函数t（x）=x+

1

x

   ，x＞0，的单调性可判其他命题．

解答：解：∵函数f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0，x∈R)，显然f（-x）=f（x），即函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，
故①正确；当x＞0时，f(x)=lg

x2+1

|x|

=lg

x2+1

x

=lg(x+

1

x

)，令t（x）=x+

1

x

   ，x＞0，则t′（x）=1-

1

x2

可知当x∈（0，1）时，t′（x）＜0，t（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，t′（x）＞0，t（x）单调递增，
即在x=1处取到最小值为2．由偶函数的图象关于y轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题为函数的性质的应用，正确运用函数的性质及图象的关系式解决问题的关键，属基础题．