Question

若f（x）=其中a∈R
（1）当a=-2时，求函数y（x）在区间[e，e²]上的最大值；
（2）当a＞0，时，若x∈[1，+∞），恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）当a=-2，x∈[e，e²]时，f（x）=x²-2lnx+2，求其导数可判函数在在[e，e²]上单调递增，进而可得其最大值；
（2）分类讨论可得函数y=f（x）在[1，+∞）上的最小值为，分段令其，解之可得a的取值范围．
解答：解：（1）当a=-2，x∈[e，e²]时，f（x）=x²-2lnx+2，（1分）
∵，∴当x∈[e，e²]时，f'（x）＞0，（2分）
∴函数f（x）=x²-2lnx+2在[e，e²]上单调递增，（3分）
故+2=e⁴-2（4分）
（2）①当x≥e时，f（x）=x²+alnx-a，，
∵a＞0，∴f'（x）＞0，∴f（x）在[e，+∞）上单调递增，（5分）
故当x=e时，；                            （6分）
②当1≤x≤e时，f（x）=x²-alnx+a，f′（x）=2x-=（x+）（x-），（7分）
（i）当≤1，即0＜a≤2时，f（x）在区间[1，e）上为增函数，
当x=1时，f（x）_min=f（1）=1+a，且此时f（1）＜f（e）=e²；      （8分）
（ii）当，即2＜a≤2e²时，f（x）在区间上为减函数，在区间上为增函数，（9分）
故当x=时，，且此时f（）＜f（e）=e²；（10分）
（iii）当，即a＞2e²时，f（x）=x²-alnx+a在区间[1，e]上为减函数，
故当x=e时，．（11分）
综上所述，函数y=f（x）在[1，+∞）上的最小值为（12分）
由得0＜a≤2；由得无解；由得无解；  （13分）
故所求a的取值范围是（0，2]．                                     （14分）
点评：本题考查利用导数求闭区间的最值，涉及分类讨论的思想，属难题．