Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过点A的直线，且∠PAC=∠ABC．
（Ⅰ） 求证：PA是⊙O的切线；
（Ⅱ）如果弦CD交AB于点E，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求sin∠BCE．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由AB为直径，知，，由此能证明PA为圆的切线．
（Ⅱ）设CE=6k，ED=5k，AE=2m，EB=3m，由AE•EB=CE•ED，得m=k，由△AEC∽△DEB，△CEB∽△AED，能求出AB=10，，由此能求出sin∠BCE．
解答：（Ⅰ）证明：∵AB为直径，
∴，，
∵，
∴PA⊥AB，
∵AB为直径，∴PA为圆的切线．…（4分）
（Ⅱ）解：CE=6k，ED=5k，AE=2m，EB=3m，
∵AE•EB=CE•ED，∴m=k，
∵△AEC∽△DEB
△CEB∽△AED，
∴AB=10，．
在直角三角形ADB中，，
∵∠BCE=∠BAD，∴．…（10分）
点评：本题考查与圆有关的比例线线段的应用，解题时要认真审题，注意相交弦定理和相似三角形性质的合理运用．