Question

已知函数f（x）=．
（1）若m=1，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数g（x）=至少有一个极值点，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=，m=1，知f′（x）=3x²-5x+2=（3x-2）（x-1），由此能得到m=1时，函数f（x）的单调性．
（2）由g（x）=，知令g′（x）=0，得x⁴+mx²+（3-m）=0，由此进行分类讨论，能求出f（x）至少一个极值点时，m的取值范围．
解答：解：（1）∵f（x）=，
m=1，
∴f′（x）=3x²-5x+2=（3x-2）（x-1），
令f′（x）＞0，得x，或x＞1，
由f′（x）＜0，得，
∴f（x）在（-∞，），（1，+∞）上为增函数，
在（）上为减函数．
（2）∵g（x）=
∴，
∴
令g′（x）=0，得x⁴+mx²+（3-m）=0（*），
①当△=m²-4（3-m）≤0，
即-6≤m≤2时，
方程（*）无解，此时g（x）无极值点．
②当△=m²-4（3-m）＞0，
即m＜-6或m＞2时，
（i）当3-m＜0，即m＞3时，方程（*）有一正、一负两个根，
∵t=x²，∴方程x⁴+mx²+（3-m）=0只有一个正数解，
此时g（x）只有一个极值点．
（ii）当时，即m＜-6时，
方程（*）有两个相异正根，
∵t=x²，∴方程x⁴+mx²+（3-m）=0恰有两个相异正数解，
此时g（x）有两个极值点，
由①②知，g（x）至少一个极值点时，m的取值范围是m＜-6或m＞3．
点评：本题考查函数单调性的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想、等价转化思想和导数知识的合理运用．