Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1．
（1）求证：数列{

1

bn

}为等差数列，并求数列{a_n}通项公式；
（2）数列{b_n}的前n项和为S_n，令T_n=S_2n-S_n，求T_n的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知利用等差数列的定义即可证明，再利用通项公式即可；
（2）证明T_n是递增数列即可得出．

解答：解：（1）2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1，
∴b_n-b_n+1=b_nb_n+1，
∴

1

bn+1

-

1

bn

=1，
∴数列{

1

bn

}是公差为1，首项为1等差数列，
∴

1

bn

=n，即bn=

1

n

，
∴an=

1

n

+1，即bn=

1

n

．
（2）T_n=S_2n-S_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，
∵Tn+1-Tn=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞0
∴{T_n}单调递增                   
∴Tn≥T1=

1

2

，
∴T_n的最小值为

1

2

．

点评：熟练掌握等差数列的定义、通项公式、递增数列等是解题的关键．