Question

（本题满分12分）如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P,Q分别为AE,AB的中点．

（1）证明：PQ∥平面ACD；

（2）求AD与平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

（1）见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，

所以PQ∥EB．又DC∥EB，因此PQ∥DC，

又PQ?平面ACD，

从而PQ∥平面ACD．

（2）如图，

连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB．

因为DC⊥平面ABC，

EB∥DC，

所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB．[来

故CQ⊥平面ABE．

由（1）有PQ∥DC，又PQ＝EB＝DC，

所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ．

因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，

在Rt△DPA中，AD＝，DP＝1，

sin∠DAP＝，

因此AD和平面ABE所成角的正弦值为．

考点：本题考查集合的交集，并集的运算，集合与集合的关系