Question

设函数f（x）=

m

•

n

，其中向量

m

=(2cosx，1)， 

n

=(cosx，

3

sin2x)，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f（A）=2，b=1，△ABC的面积为

3

2

，求△ABC外接圆半径R．

Answer 1

分析：（1）直接把向量代入函数f（x）=

m

•

n

，利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化为求f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1，利用正弦函数的单调减区间求函数的单调递减区间；利用周期公式求出函数f（x）的最小正周期．
（2）已知f（A）=2，求出A的值，通过b=1，△ABC的面积为

3

2

求出c，再用余弦定理推出△ABC为直角三角形，然后求△ABC外接圆半径R．

解答：解：（1）由题意得f(x)=2cos2x+

3

sin2x=cos2x+

3

sin2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1．
所以，函数f（x）的最小正周期为T=π，由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z得
函数f（x）的单调递减区间是[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]k∈Z（6分）
（2）∵f(A)=2，∴2sin(2A+

π

6

)+1=2，解得A=

π

3

，
又∵△ABC的面积为

3

2

，b=1．得

1

2

bcsinA=

3

2

∴c=2．
再由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，解得a=

3

∴c²=a²+b²，即△ABC为直角三角形．∴R=

c

2

=1（l2分）

点评：本题是基础题，考查二倍角公式，两角和的正弦函数，三角函数的最值，周期，以及三角形的知识，是综合题，考查计算能力，常考题型．