Question

已知在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c向量m=(2cos

C

2

，-sin(A+B))，n=(cos

C

2

，2sin(A+B))，且m⊥n．
（I）求角C的大小．
（Ⅱ）若a2=b2+

1

2

c2，求sin（A-B）的值．

Answer 1

分析：（1）先根据两向量互相垂直等价于二者的数量积等于0，可得到关于cosC的方程，进而得到答案．
（2）先表示出sin（A-B）的表达式，再由正弦和余弦定理将角的关系转化为边的关系后代入即得答案．

解答：解：（I）由m•n=0得2cos2

C

2

-2sin2(A+B)=0，
即1+cosC-2（1-cos²C）=0；整理得2cos²C+cosC-1=0
解得cosC=-1（舍）或cosC=

1

2

因为0＜C＜π，所以C=60°
（Ⅱ）因为sin（A-B）=sinAcosB-sinBcosA
由正弦定理和余弦定理可得
sinA=

a

2R

，sinB=

b

2R

，cosB=

a2+c2-b2

2ac

，cosA=

b2+c2-a2

2bc

代入上式得sin(A-B)=

a

2R

•

a2+c2-b2

2ac

-

b

2R

•

b2+c2-a2

2bc

=

2(a2-b2)

4cR

又因为a2-b2=

1

2

c2，
故sin(A-B)=

c2

4cR

=

c

4R

=

1

2

sinC=

3

4

所以sin(A-B)=

3

4

．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．三角函数和向量的综合题是高考的热点问题，要给予重视．