题目内容
已知函数f(x)=sin2x+2sinx·cosx+3cos2x,x∈R,求:(1)函数f(x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合;
(2)函数f(x)的单调增区间.
解:(1)方法一:∵f(x)=
+sin2x+
)=2+sin2x+cos2x=2+
sin(2x+
),
∴当2x+
=2kπ+
,
即x=kπ+
(k∈Z)时,f(x)取得最大值2+
.
因此,f(x)取得最大值的自变量x的集合是
{x|x=kπ+
,k∈Z }.
方法二:∵f(x)=(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=2+
sin(2x+
),
∴当2x+
=2kπ+
,
即x=kπ+
(k∈Z)时,f(x)取得最大值2+
.
因此,f(x)取得最大值的自变量x的集合是
{x|x=kπ+
,k∈Z }.
(2)f(x)=2+
sin(2x+
).
由题意得2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
(k∈Z),
即kπ-
≤x≤kπ+
(k∈Z).
因此,f(x)的单调增区间是
［kπ-
,kπ+
］(k∈Z).
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