Question

集合A是由具备下列性质的函数f（x）组成的：
①函数f（x）的定义域是[0，+∞）；
②函数f（x）的值域是[-2，4）；
③函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，试分别探究下列两小题：
（1）判断函数及是否属于集合A？并简要说明理由；
（2）对于（1）中你认为属于集合A的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）是否对于任意的x≥0恒成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得函数的值域[-2，+∞），从而可得f₁（x）∉A，对于f₂（x），只要分别判断函数定义域是否满足条件①，值域是否满足条件②，单调性是否满足条件③，即可得答案；
（2）由（1）知，f₂（x）属于集合A．原不等式为，通过整理不等式可判断．
解答：解：（1）∵函数的值域[-2，+∞）
∴f₁（x）∉A
对于f₂（x），定义域为[0，+∞），满足条件①．
而由x≥0知，∴，满足条件②
又∵，
∴在[0，+∞）上是减函数．
∴f₂（x）在[0，+∞）上是增函数，满足条件③
∴f₂（x）属于集合A．
（2）f₂（x）属于集合A，原不等式对任意x≥0总成立
证明：由（1）知，f₂（x）属于集合A．
∴原不等式为
整理为：．
∵对任意，
∴原不等式对任意x≥0总成立
点评：本题以新定义为载体，综合考查函数的定义域、值域、复合函数的单调性的求解及判断，属于函数知识的综合应用，解题的关键是正确运用新定义的三个条件．