题目内容
已知抛物线y2=4px（p＞0），O为顶点，A、B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M点，求点M的轨迹方程．
设M（x0，y0），则kOM=
，kAB=-
，
直线AB方程是y=-
（x-x0）+y0．
由y2=4px可得x=
，将其代入上式，整理，得
x0y2-（4py0）y-4py02-4px02=0．①
此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，∴A（
，y1）、B（
，y2）．
∵OA⊥OB，∴kOA•kOB=-1．∴
•
=-1．∴y1y2=-16p2．
根据根与系数的关系，由①可得
y1•y2=
，∴
=16p2．
化简，得x02+y02-4px0=0，
即x2+y2-4px=0（除去原点）为所求．
∴点M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．
法二：设M（x，y），直线AB方程为y=kx+b，
由OM⊥AB得k=-
．
由y2=4px及y=kx+b消去y，得
k2x2+x（2kb-4p）+b2=0．
所以x1x2=
．消去x，得ky2-4py+4pb=0．所以y1y2=
．由OA⊥OB，
得y1y2=-x1x2，所以
=-
，b=-4kp．
故y=kx+b=k（x-4p）．用k=-
代入，得
x2+y2-4px=0（x≠0）．
∴点M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．
| y0 |
| x0 |
| x0 |
| y0 |
直线AB方程是y=-
| x0 |
| y0 |
由y2=4px可得x=
| y2 |
| 4p |
x0y2-（4py0）y-4py02-4px02=0．①
此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，∴A（
| ||
| 4p |
| y22 |
| 4p |
∵OA⊥OB，∴kOA•kOB=-1．∴
| 4p |
| y1 |
| 4p |
| y2 |
根据根与系数的关系，由①可得
y1•y2=
| -4p(x02+y02) |
| x0 |
| -4p(x02+y02) |
| x0 |
化简，得x02+y02-4px0=0，
即x2+y2-4px=0（除去原点）为所求．
∴点M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．
法二：设M（x，y），直线AB方程为y=kx+b，
由OM⊥AB得k=-
| x |
| y |
由y2=4px及y=kx+b消去y，得
k2x2+x（2kb-4p）+b2=0．
所以x1x2=
| b2 |
| k2 |
| 4pb |
| k |
得y1y2=-x1x2，所以
| 4pk |
| k |
| b2 |
| k2 |
故y=kx+b=k（x-4p）．用k=-
| x |
| y |
x2+y2-4px=0（x≠0）．
∴点M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．
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